Educación en linea universitaria 11



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1 Educalineprofesionalgmailcom Educalineprofesionalgmailcom 2 Educalineprofesionalgmailcom Educalineprofesionalgmailcom 96 masa 400 m adelante del centro de masa de la camioneta(figura 839)a) Determine la posición del centro de masa del sistemaformado porlos dos vehículos b) Calcule la magnitud del momento linealtotal delsistema, a partir de los datos anteriores c) Calcule la rapidezdel centrode masa del sistema d) Calcule el momento lineal total delsistema,usando la rapidez del centro de masa Compare su resultadocon el delinciso b)0400 m/s0200 m/s300 g100 gFigura 838 Ejercicio 843851 Una parte de una máquinaconsiste en una barra delgada yuniforme de400 kg y 150 m delongitud, unida en forma perpendicularmediante una bisagra a unabarra vertical similar cuya masa esde 300 kg y que mide 180 m delongitud La barra más larga tieneuna bola pequeña pero densa de200 kg unida a uno de sus extremos(figura 840) ¿Qué distanciase mueve horizontal y verticalmenteel centro de masa de la primera parte si la barra vertical semueve alrededordel pivote en sentido antihorario 90° para formar una partecompleta horizontal?150 m400 kg300 kg200 kg180 mBisagraFigura 840 Ejercicio 851http://libreria-universitariablogspotcomProblemas 279852 En un instante dado, el centro de masa de un sistema dedospartículas está sobre el eje x en x 5 20 m y tiene unavelocidadde Una partícula está en el origen La otra tiene masa de010 kg y está en reposo en el eje x en x 5 80 m a) ¿Qué masatienela partícula que está en el origen? b) Calcule el momentolinealtotal del sistema c) ¿Qué velocidad tiene la de la fuerza neta queactúa sobreel avión*Sección 86 Propulsión a reacción*856 Un cohete pequeño quema 00500 kg de combustiblecada segundo,expulsándolo como gas con una velocidad de 1600 m>srelativaal cohete a) ¿Qué empuje tiene el cohete? b) ¿Funcionaría elcohete enel espacio exterior donde no hay atmósfera? En tal caso,¿cómo se podríaguiar? ¿Se le podría frenar?*857 Un astronauta de 70 kg flota en el espacio en unaunidad de maniobrastripulada (MMU, por las siglas de manned maneuvering unit)de 110 kg y sufre una aceleración de 0029 m>s2 al dispararuno de susimpulsores a) Si la rapidez del gas N2 que escapa, relativa alastronauta,es de 490 m>s, ¿cuánto gas se gasta en 50 s? b) ¿Qué empujetieneel impulsor?*858 Un cohete se enciende en el espacio profundo, dondela gravedades despreciable Si su masa inicial es de 6000 kg y expulsa gasconvelocidad relativa de 2000 m>s, ¿cuánto gas deberá expulsaren el primersegundo para adquirir una aceleración inicial de 250 m>s2?*859 Un cohete se enciende en el espacio profundo, dondela gravedades despreciable, y en el primer segundo expulsa de su masacomogas de escape, adquiriendo una aceleración de 150 m>s2¿Quérapidez relativa al cohete tiene el gas?*860 Un modelo de motor a reacción C6-5 tiene un impulsodedurante 170 s mientras quema 00125 kg de combustibleEl empuje máximo es de 133 N La masa inicial del motor máscombustiblees de 00258 kg a) ¿Qué fracción del empuje máximo es elempuje medio? b) Calcule la rapidez relativa de los gases deescape,suponiéndola constante c) Suponiendo que la rapidez relativade losgases de escape es constante, calcule la rapidez final delmotor si estásujeto a una armazón muy ligera y se enciende estando enreposo en elespacio exterior, sin gravedad*861 Un cohete de una etapa se enciende desde el reposoen una plataformaespacial donde la gravedad es despreciable Si el combustiblese quema en 500 s y la rapidez relativa delos gases de escapees vesc 97 5 2100 m>s, ¿cuál debe ser la razón de masas m0>m paraadquirir unarapidez final v de800 km>s (similar a la rapidez orbital de unsatéliteterrestre)?*862 Obviamente, los cohetes pueden alcanzar gran rapidez,pero¿qué rapidez máxima es razonable? Suponga que un cohetese enciendedesde el reposo en una estación espacial donde la gravedades despreciablea) Si el cohete expulsa gas con rapidez relativa de2000 m>sy se desea que el cohete alcance una rapidez final de 100 31023c,donde c es la rapidez de la luz, ¿qué fracción de la masa totalinicialdel cohete no es combustible? b) ¿Cuál es está fracción si sedesea alcanzaruna rapidez final de 3000 m>s?100 N # s1160d^ e^1 075 m/s3 2 t2i^1 50 m/s 2 d^Problemas863 Una esfera de acero de 400 kg se deja caer desde unaaltura de200 m sobre una plancha de acero horizontal, rebotando auna alturade 160 m a) Calcule el impulso que se da a la esfera en elimpactob) Si el contacto dura 200 ms, calcule la fuerza media queactúa sobrela esfera durante el impacto864 En una erupción volcánica, una roca de 2400 kg eslanzada verticalmentehacia arriba Al alcanzar su altura máxima, estalla súbitamente(a causa de los gases atrapados) y se divide en dosfragmentos, unode los cuales tiene una masa tres veces mayor que el otro Elfragmentomás liviano comenzó con una velocidad horizontal y tocótierra274 m directamente al nortedel punto del estallido ¿Dóndecaerá elotro fragmento? Desprecie la resistencia del aire865 Una pelota detenis de 0560 N tiene una vía, calculesu velocidad final si: a) una masa de250 kgselanza lateralmente desde el vagón con velocidad de 200 m>srelativaa la velocidad inicial del vagón; b) una masa de 250 kg selanza haciaatrás con velocidad de 500 m>s relativa al movimiento inicialdel vagón; avanza a 50 m>s a) ¿Qué autotiene mayorenergía cinética? ¿Cuál es la razón entre las energías cinéticasdelNash y el Packard? b) ¿Qué auto tiene mayor magnitud delmomentolineal? ¿Cuál es la razón entre las magnitudes de momentolineal delNash y el Packard? c) Sean FN y FP las fuerzas netasrequeridas paradetener en un tiempo t el Nash y el Packard, respectivamente¿Cuálfuerza es mayor: FN o FP? ¿Cuánto vale la razón FN>FP? d)Sean ahoraFN y FP las fuerzas netas requeridas para detener en unadistancia d elNash y el Packard, respectivamente ¿Cuál fuerza es mayor:FN o FP?¿Cuánto vale la razón FN>FP?873 Un soldado en un campo de tiro dispara una ráfaga de 8tiros conun rifle de asalto a razón de 1000 balas por minuto Cada balatienemasa de 745 g y rapidez de293 m>s relativa al suelo al salirdel cañóndel arma Calcule la fuerza de retroceso media ejercida sobreel armadurante la ráfaga874 Un marco de 0150 kg, suspendidode un resorte, lo estira 0050 m Untrozo de masilla de0200 kg en reposose deja caer sobre el marco desde unaaltura de 300 cm (figura 842) ¿Quédistancia máxima baja el marco con respectoa su posición inicial?875 Una bala de rifle de 800 g se incrustaen un bloque de 0992 kg quedescansa en una superficie horizontalsin fricción sujeto a un resorte (figura843) El impacto comprime el resorte150 cm La calibración del resorte indicaque se requiere una fuerza de0750 N para comprimirlo 0250 cma) Calcule la velocidad del bloqueinmediatamente después del impactob) ¿Qué contrincantes entrelazados sobre el piso? b) Si elcoeficientede fricción cinética entre sus cuerpos y el piso es μk 5 0250,¿qué distancia se deslizan?878 Dos masas idénticas se sueltandel reposo en un tazón hemisféricoliso de radio R, desde lasposiciones que se muestran en lafigura 845 Se puede despreciarla fricción entre las masas y la superficiedel tazón Si se pegancuando chocan, ¿qué altura arribadel fondo del tazón alcanzarán las masas después de chocar?879 Una pelota con masa M, que semueve horizontalmentea 500m>s, choca elásticamente con un bloque de masa 3M queinicialmenteestá en reposo y cuelga del techo por medio de un alambre de500 cmDetermine el ángulo máximo de oscilación del bloque despuésdelimpacto880 Una esfera de plomo de 2000 kg cuelga de un ganchoatado a unalambre delgado de 350 m de longitud, y puede oscilar en uncírculocompleto De repente, un dardo de acero de 500 kg la golpeahorizontalmente,incrustándose en ella ¿Qué rapidez inicial mínima debe tenerel dardo para que la combinación describa un círculocompletodespués del choque?881 Una pelota de 800 kg, que cuelga del techo atada a unalambrede 135 cm de longitud, sufre un choque elástico con unapelota de200 kg que se mueve horizontalmente con rapidez de 500m>s justoantes del choque Calcule la tensión en el alambreinmediatamentedespués del choque882 Una pelota de goma con masa m se libera desde elreposo a una de 500 g se dispara contra un bloque demadera de100 kg suspendido de un hilo de 200 m de longitud,atravesándolo Elcentro de masa del bloque se eleva 045 cm Calcule la rapidezde labala al salir del bloque si su rapidez inicial es de 450 m>s300 cmFigura 842Problema 874Figura 844 Problema 877RFigura 845 Problema 878m 5 800 kgm 5 700 kg50 mhttp://libreria-universitariablogspotcomProblemas 281885 Un neutrón de masa m sufre un choque elástico defrente con unnúcleo de masa M en reposo a) Demuestre que si la energíacinéticainicial del neutrón es K0, la energía cinética que pierdedurante el choquees 4mMK0>(M 1 m)2 b) ¿Con qué valor de M pierde másenergíael neutrón incidente? c) Si M tiene el valor calculado en elinciso b),¿qué Un paquete de150 kg baja deslizándose por unarampa inclinada 370° sobre lahorizontal y sale proyectado conuna rapidez de 300 m>s El paquetecae en el carrito y siguenavanzando juntos Si el extremo inferior de la rampa está auna alturade 400 m sobre el fondo del carrito, a) ¿qué rapidez tendrá elpaqueteinmediatamente antes de caer en el carrito? b) ¿Qué rapidezfinaltendrá el carrito?888 Un disco azul con masa de 00400 kg, que sedesliza conrapidezde 0200 m>s sobre una mesa de aire horizontal sin fricción,sufre unchoque perfectamente elástico de frente con un disco rojo demasa m,inicialmente en reposo Después del choque, la velocidad deldiscoazul es de 0050 m>s en la misma dirección quesu velocidadinicialCalcule a) la velocidad (magnitud y dirección) del disco rojodespuésdel choque; b) la masa m del disco rojo889 Dos asteroides con masas mA y mB se mueven convelocidadesy con respecto a un astrónomo en una nave espacial a)Demuestreque la energía cinética total medida por el astrónomo esdonde y M están definidos como en la sección 85,y En esta expresión, la energía cinética total de los dosasteroides es la energía asociada a su centro de masa mas laasociada almovimiento interno relativo al centro de masa b) Si losasteroideschocan, ¿qué energía cinética minima pueden tener despuésdel choque,según las mediciones del astrónomo? Explique890 Imagine que sostiene una pelota pequeña en contactocon y directamentearriba del centro de una pelota grande Si deja caer la pelotapequeña un tiempo corto después de dejar caer la grande, lapelota pequeña rebotará con rapidez sorprendente Para verel casoextremo, ignore la resistencia del airey suponga que la pelotagrandechoca elásticamente con el piso y luego rebota para chocarelásticamentecon la pelota pequeña en descenso Justo antes del choqueentrelas dos pelotas, la grande semueve hacia arriba con velocidady la pequeña tiene velocidad (¿Entiendepor qué?) Supongaquela masa de la pelota grande es mucho mayor que la de lapequeñaa) ¿Qué velocidad tiene la pelota pequeña justo después delchoque dirección? (Sugerencia:use unsistema de coordenadas inercial fijo al suelo) b) ¿Cuál es larapidez finalde la caja si Juan salta primero y Gilberto lo hace unossegundosdespués, en la misma dirección? c) ¿Qué rapidez final tiene lacaja siGilberto salta primero y luego Juan, en la misma dirección?892 División de energía Un objeto con masa m, queinicialmenteestá en reposo, hace explosión y produce dos fragmentos,uno con masamA y otro con masa mB, dondemA 1 mB 5 m a) Si se liberaunaenergía Q en la explosión, ¿cuánta energía cinética tendrácada fragmentoinmediatamente después de la explosión? b) ¿Qué porcentajede la energía total liberada recibirá cada fragmento si la masade unoes cuatro veces la del otro?893 Desintegración de neutrones Un neutrón en (bismuto) en reposo sufredesintegraciónbeta para producir 210Po (polonio) Suponga que el electrónemitido semueve hacia la derecha con un momento lineal de 560310222 kg ? m>sEl núcleo de 210Po, cuya masa es de350 3 10225 kg,retrocedehaciala izquierda con rapidez de 114 3 1023 m>s La conservacióndel momentolineal requiere la emisión de una segunda partícula, llamadaantineutrinoCalcule la magnitud y dirección del momento lineal delantineutrinoemitido en esta desintegración896 Un protón que se mueve con rapidez vA1 en la dirección1x chocaelásticamente pero no de frente con un protón idéntico queestá enreposo Después del impacto, el primer protón se mueve conrapidezvA2 en el primer cuadrante, con un ángulo a con respecto aleje x, y elsegundo se mueve con rapidez vB2 en el cuarto cuadrante,con un ángulob con respecto al eje x (figura 813) a) Escriba las ecuacionesdeconservación del momento lineal lineal en las direcciones x yy b) Eleveal cuadrado las ecuaciones del inciso a) y súmelas c)Introduzcaahora el hecho de que el choque es elástico d) Demuestreque a 1 b5 p>2 (Habrá demostrado que esta ecuación se obedece encualquierchoque elástico descentrado entre objetos de igual masa,cuando unode ellos estaba inicialmente en reposo)897 El disco de hockey B descansa sobre una superficie dehielo lisoy es golpeado por otro disco A dela misma masa A viajainicialmentea 150 m>s y es desviado 250° con respecto a su direcciónoriginalSuponga un choqueperfectamente elástico Calcule la rapidezfinalde cada disco y la dirección de la velocidad de B después delchoque (magnitud y dirección) deltrineo después del salto899 Los objetos de la figura 847 están hechos de alambreuniformedoblado Encuentre la posición del centro de masa de cadaunotiempo Suponga que la resistencia del aire es despreciable Siel fragmentomás pesado cae en el punto desde el cual se lanzó el obús,¿dóndecaerá el fragmento más ligero y cuánta energía se habráliberado enla explosión?8105 Reacción nuclear La fisión, el proceso que suministralaenergía en las plantas nucleares, ocurre cuando un núcleopesado se divideen dos núcleos medianos Una reacción así ocurre cuando unneutrónchoca con un núcleo de 235U (uranio) y lo divide en un núcleode141Ba (bario) y uno de 92Kr (kriptón) Además, salendespedidos dosneutrones del 235U original Antes explosión?8103 Un cohete de fuegos artificiales se disparaverticalmente haciaarriba En su altura máxima de 800 m, estalla y se divide endos fragmentos,uno con masa de 140 kg y otro con masa de 028 kg En laexplosión,860 J de energía química se convierte en energía cinética delos dos fragmentos a) ¿Qué rapidez tiene cada fragmentoinmediatamentedespués de la explosión? b) Se observa que los dosfragmentoscaen al suelo al mismo tiempo ¿Qué distancia hay entre lospuntos enlos que caen? Suponga que el suelo es horizontal y que laresistenciadel aire es despreciable8104 Un obús de 120 kg es disparado con un ángulo de550° sobrela horizontal con una rapidez inicial de 150 m>s En el puntomás altode la trayectoria, el obús estalla en dos fragmentos, uno contres vecesmás masa que el otro Los dos fragmentos llegan al suelo almismoNúcleoyxa)Neutrónen reposo 102 v0yx358108308Neutrón emitidoNeutrónoriginalNeutrón emitidob)Figura 849 Problema 81058106 Sistema de coordenadas del centro demasa El disco A(masa mA) se desplaza sobre una mesa de aire horizontal sinfriccióncon velocidad en la dirección 1x y choca de frenteelásticamentecon el disco B (masa mB) en reposo Después del choque,ambos discosse mueven a lo largo del eje 1x a) Calcule la velocidad delcentro demasa del sistema de los dos discos antes del choque b)Considere unsistema de coordenadas con origen en el centro de masa yque semueve con él ¿Es inercial este marco de referencia inercial?c) ¿Quévelocidades iniciales y tienen los discos en este marco dereferencia?¿Cuál es el momento lineal total en este marco? d) Use laconservación después y antesdel choqueuSB1 , uSA1uSB1 uSA1vSA1http://libreria-universitariablogspotcomProblemas de desafío 283a) ¿Cuánto vale P en un choque totalmente inelástico? b) ¿Yen unchoque elástico? c) Una pelota se deja caer desde una altura hsobreuna superficie estacionaria y rebota a una altura H1Demuestre qued) Un balón de baloncesto bien inflado debe tener uncoeficiente de restitución de 085 Si se le deja caer desde 12m sobreun piso de madera sólida, ¿a qué altura debe rebotar? e) Laalturadel primer rebote es H1 Demuestre que, si P es constante, laaltura deln-ésimo rebote es f) Si P es constante, ¿qué altura tieneel octavo rebote del balón bien inflado que se soltó desde unaalturade 12 m?8108 Energía de enlace de la molécula de hidrógeno Alcombinarsedos átomos de hidrógeno de masa m para formar unamoléculadiatómica (H2), la energía potencial final del sistema es 2D,donde Des una cantidad positiva llamada energia de enlace de lamoléculaa) Demuestre que, en un choque en el quesólo intervienendos átomosde H, es imposible formar una molécula deH2 porque no sepueden conservar simultáneamente el momento lineal y laenergía(Sugerencia: si puede demostrar que esto se cumple en unmarcode referencia, será verdad en todos los marcos de referencia¿Comprendepor qué?) b) Una molécula de H2 puede formarse en unchoqueen el que intervienen tres átomos de hidrógeno Suponga que,antes del choque, cada átomo tiene rapidez de 100 3 103m>s y quelos tres se acercan con ángulos de 120°, de manera que entodo momentoestán en los vértices de un triángulo equilátero Calcule larapidez de la molécula de H2 y del átomo de H restantedespués delchoque La energía de enlace del H2 es D 5 723 3 10219 J, y lamasadel átomo de H es de 167 3 10227 kg8109 Un bandido suelta una carreta con dos cajas de oro(masa total5 300 kg) que estaba en reposo 50 m cuesta arriba de unapendientede 60° (figura 850) El plan es que la carreta baje la cuesta,ruedepor terreno plano y luego caiga en un cañón donde suscómplices esperanSin embargo, en un árbol a 40 m del borde del cañón están elLlanero Solitario (masa 750 kg) y Toro (masa 600 kg), quienessedejan caer verticalmente sobre la carreta al pasar ésta a) Sinuestroshéroes necesitan 50 s para tomar el oroy saltar, ¿lo lograránantes deque la carreta llegue al borde del risco? La carreta rueda confriccióndespreciable b) Cuando los héroes caen en la carreta, ¿seconservala energía cinética del sistema de los héroes más la carreta? Sino, 103 ¿aumenta o disminuye, y por cuánto?Hn 5 P2nhP 5 H1 /h ejemplo 815 (sección 86) si está cerca de la superficieterrestre envez de en el espacio? Ignore la resistencia del aire d) Calculela rapidezdel cohete del ejemplo 816 (sección 86) después de90 s sipartede la superficie terrestre y no del espacio exterior Puededespreciarla resistencia del aire Compare su respuesta con la rapidezcalculadaen el ejemplo 816*8111 Cohete de múltiples etapas Suponga que la primeraetapade un cohete de dos etapas tiene masa total de 12,000 kg, delos cuales9000 kg son de combustible La masa total de la segundaetapa es1000 kg, de los cuales 700 kg corresponden al combustibleSupongaque la rapidez relativa vesc del material expulsado esconstante, e ignorelos efectos gravitacionales (que son pequeños durante elperiodode encendido si la tasa de consumo de combustible es alta) a)Supongaque todo el combustible de este cohete de dos etapas seutilizaen un cohete de una sola etapa con la misma masa total de13,000 kgEn términos de vesc, ¿qué rapidez tendría el cohete,partiendo del reposo,al agotarse el combustible? b) En cuanto al cohete de dosetapas,¿qué rapidez tiene al agotarse el combustible de la primeraetapasi ésta transporta la segunda etapa hasta este punto? Estarapidez esahora la rapidez inicial de la segunda etapa, que en este puntose separade la primera c) ¿Qué rapidez final tiene la segunda etapa? d)¿Quévalor de vesc se requiere para impartir a la segunda etapa delcoheteuna rapidez de 700 masa de un objeto sólido nopermiteuna determinación simple del centro de masa por simetría, lassumasde las ecuaciones (828) deben generalizarse a integrales:donde x y y son las coordenadas de un fragmento pequeñodel objetocon masa dm Se integra sobre todo el objeto Considere unavarilladelgada de longitud L, masa M y área transversal A dispuestasobre eleje 1x, con el origen de coordenadas en el extremo izquierdode la varillaa) Si la densidad r 5 M>V del objeto es uniforme, realice laintegraciónanterior para demostrar que la coordenada x del centro demasa está en el centro geométrico de la varilla b) Si ladensidad delobjeto varía linealmente con x según r 5 ax (donde a es unaconstantepositiva), calcule la coordenada x del centro de masa8114 Use los métodos del problema de desafío 8113 paracalcularlas coordenadas x y y del centro de masa de una placametálica semixcm51M3x dm ycm 51M3y dmm1 t 2 5 dm0 para t , 0m0 11 2t120 s 2 para 0 # t # 90 sm0/4 para t 90 s300 kg60850 m40 m al riscoFigura 850 Problema 8109*8110 En la sección 86 consideramos un cohete que sedispara enel espacio exterior donde no hay resistencia del aire y lagravedades despreciable Suponga ahora que el cohete aceleraverticalmentedesde el reposo en la superficie terrestre Siga ignorando laresistenciadel aire y considere sólo la parte del movimiento en la que laalturadel cohete es pequeña y g puede suponerse constante a)¿Cómo semodifica la ecuación (837) cuando se toma en cuenta lafuerza degravedad? b) Deduzca una expresión para la aceleración a delcohete,análoga a la ecuación (839) c) ¿Qué aceleración tiene elcohete delhttp://libreria- universitariablogspotcom284 CAPÍTULO 8 Momento lineal, impulso y choquescircular con densidad uniforme r, 104 espesor t y radio a La masa de laplaca es entoncesUse el sistema de coordenadas dela figura 8518115 Una cuarta parte deunacuerda de longitud l cuelga delborde de una mesa sin fricción Lacuerda tienedensidad lineal (masapor unidad de longitud) uniformel, y el extremo que está sobrela mesa es sostenido por una persona ¿Cuánto trabajo realizaesa personasi tira de la cuerda para subir lentamente a la mesa el resto delacuerda? Resuelva el problema de dos maneras: a) Calcule lafuerzaque debe ejercer la persona para subir la cuerda, y con estocalcule eltrabajo efectuado La fuerza es variable porque en cadainstante el tramode cuerda que cuelga es diferente b) Suponga que elsegmento decuerda que originalmente cuelga tiene toda su masaconcentrada ensu centro de masa Calcule el trabajo necesario para elevaréste a laaltura de la mesa Quizá este enfoque leparezca más sencilloque eldel inciso a) ¿Hay diferencias en sus respuestas? ¿Por qué?*8116 Gota de lluvia de masa variable En un problema depropulsiónde cohetes, la masa es variable Un problema similar es unagotaM 5 12rpa2tde lluvia que cae a través de una nube de gotitas de agua,algunas delas cuales se adhieren a la gota aumentando su masa al caerLa fuerzasobre la gota esSuponga que la masa de la gota depende de la distancia x quehacaído Entonces, m 5 kx, donde k es constante, y dm>dt 5 kvPuestoque Fext 5 mg, esto daO bien, dividiendo entre k,Ésta es una ecuación diferencial con solución de la forma v 5at,donde a es la aceleración radial?¿Estasaceleraciones tienen magnitud constante? ¿Y direcciónconstante? Justifiquesus respuestasP97 ¿Para qué sirve el ciclo de centrifugado de una lavadora?Expliqueen términos de las componentes de aceleraciónP98 Aunque la velocidad y la aceleración angulares puedentratarsecomo vectores, no sucede lo mismo con el desplazamientoangular u,a pesar detener magnitud y dirección, porque u no obedecela leyconmutativa de la suma de vectores (ecuación 13)Demuestre estomomento de inercia, 297energía cinética rotacional, 297teorema de los ejes paralelos, 302m1m2zxyOFigura 926 Pregunta P92http://libreria-universitariablogspotcom308 CAPÍTULO 9 Rotación de cuerpos rígidoscomo sigue: coloque este libro sobre un escritorio con laportada haciaarriba y de modo que pueda leer las palabras Gire el bordelejano 908hacia arriba y hacia usted sobre un eje horizontal Llame aeste desplazamientou1 Ahora gire el bordeizquierdo 908 hacia usted sobre un ejevertical Llame a este desplazamiento u2 El lomo del librodeberá mirarahora hacia usted con las palabras orientadas demodo quepueda momento de inercia de un volantemientrasminimizamos su peso, ¿qué forma y distribución de masadebería tener?Explique su respuestaP911 ¿Cómo podría usted determinar experimentalmente elmomentode inercia de un cuerpo de forma irregular alrededor de uneje dado?P912 Un cuerpo cilíndrico tiene masa M y radio R ¿La masapuedeestar distribuida dentro del cuerpo demodo tal que sumomento deinercia alrededor de su eje de simetría sea mayor que MR2?Expliquesu respuestaP913 Describa cómo podría usar el inciso b) de la tabla 92para deducirel resultado del inciso d)P914 Un caparazón esférico hueco de radio R que giraalrededor deun eje que pasa por su centro tiene energía cinética rotacionalK Si ustedquiere modificar esta esfera de reposo Después de caeruna distancia d, ¿su rapidez será iguala V, mayor que V, o menor que V?Demuestre o explique por quév S?du Sdu SP919 Podemos usar cualquier medida angular (radianes,grados o revoluciones)en algunas de las ecuaciones del capítulo 9; sin embargo,en otras sólo podemos usar radianes Identifique lasecuaciones en lasque es necesario usar radianes y en las que no es necesarioEn cadacaso, justifique sus respuestasP920 Al calcular el momento de inercia de un objeto,¿podemos tratartoda su masa como si estuviera concentrada en el centro demasadel objeto? Justifique su respuestaP921 Una rueda gira en torno a un eje perpendicular al planode larueda y que pasa por el centro de la rueda La rapidez angulardela rueda está aumentando con razón constante El punto Aestá en elborde de la rueda; y el punto B, a la mitad de la distanciaentre el bordey el centro Para cada una de las cantidades siguientes,indiquesisu magnitud es mayor en el punto A, en el punto B o es igualen ambospuntos: a) rapidez angular, b) rapidez tangencial, c)aceleración angular,d) aceleración tangencial y e) aceleración radial Justifique susrespuestasEjerciciosSección 91 Velocidad y aceleración angulares91 a) ¿Qué ángulo en radianes es subtendido por un arco de150 m 400 s a)Calculela aceleración angular en rev>s2 y el número de revolucionesque elmotor giró en el intervalo de 400 s b) ¿Cuántos segundosmás tardaráel motor en parar, si la aceleración angular se mantieneconstante en elvalor calculado en el inciso a)?911 Las aspas de una licuadora giran con aceleración angularconstantede 150 rad>s2 a) ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar unavelocidadangular de 3600 rad>s, partiendo del reposo? b) ¿Cuántasrevoluciones giran las aspas en este tiempo?912 a) Deduzca la ecuación (912) combinando lasecuaciones (97) y motor no recibeelectricidad durante300 s y, durante ese lapso, el volante pierde rapidez por lafriccióncon los cojinetes de su eje, describiendo 200 revolucionescompletas a) ¿Con qué rapidez está girando el volantecuando se restablecela alimentación eléctrica? b) ¿En cuánto tiempo después de lainterrupción del suministro se habría parado el volante, si elsuministrono se hubiera restablecido, y cuántas revoluciones habríagirado la ruedaen ese tiempo?916 Una unidad de disco de computadora se enciendepartiendo delreposo y tiene aceleración angular constante Si a la unidad lelleva0750 s realizar su segunda revolución completa, a) ¿cuántotiempo letomó efectuar su primera revolución completa?, y b) ¿cuál essu aceleraciónangular en rad>s2?917 Un s, 0150 s y 0200 s) ygrafiqueu contra t y v contra t para el intervalo entre t 5 0 y t 5 0200 sa) La velocidad angular es de 100 rev>s (constante) b) Laruedaparte del reposo con aceleración angular constante de 250rev>s2c) La rueda gira a 100 rev>s en t 5 0 y cambia su velocidadangulara una razón constante de 2500 rev>s2919 En t 5 0, la velocidad angular de una rueda de afilar erade240 rad>s, y tuvo una aceleración angular constante de 300rad>s2,hasta que un interruptor de circuito se abrió en t 5 200 s Apartir deese momento, la rueda giró 432 rad con aceleración angularconstantehasta parar a) ¿Qué ángulo total giró la rueda entre t 5 0 y elinstanteen que se detuvo? b) ¿En quétiempo se detuvo? c) ¿Quéaceleración tenía al irse angular orbital de la Tierra (en rad>s) debida a sumovimientoalrededor del Sol, b) su rapidez angular (en rad>s) debida asu giro axial, c) la rapidez tangencial de la Tierra alrededor delSol(suponiendo una órbita circular), d) la rapidez tangencial deun puntoen el ecuador terrestre debido al giro, y e) las componentesde laaceleración radial y tangencial del punto del inciso d)922 Disco compacto Un disco compacto (CD) almacenamúsicaen un patrón codificado de hoyos diminutos de 1027 m deprofundidad,dispuestos en una pista espiral que va desde el centro hasta elborde deldisco Los radios interior y exterior de la espiral son de 250mm y 580mm, respectivamente Dentro del reproductor deCD,mientras el disco 108 18gDiscoElevadorContrapesoFigura 928 Ejercicio 920http://libreria-universitariablogspotcom310 CAPÍTULO 9 Rotación de cuerpos rígidosgira la pista es barrida con rapidez lineal constante de 125m>sa) ¿Qué rapidez angular tiene el CD cuando se barre la parteinteriorde la pista? ¿Y la parte exterior? b) La duración máxima de unCDes de 740 min ¿Qué longitud tendría la pista de tal CD si seestiraraen línea recta? e) ¿Qué aceleración angular media tiene un CDde máximaduración durante los 740 min? Tome la dirección de rotacióndel disco como positiva923 Una rueda con diámetro de 400 cm parte del reposo ygira conuna aceleración angular constante de 300 rad>s2 En elinstante en quela rueda ha completado su segunda revolución, en el borde tendrá una aceleración radial de 0500m>s2 cuandola velocidad tangencial en ese punto sea de 200 m>s ¿Quévelocidadangular se necesita para lograr estos valores?929 Perforación eléctrica Según el manual del usuario, parahacerun agujero de 127 mm de diámetro en madera, plástico oaluminio,se recomienda una rapidez del taladro de1250 rev>min Parauna brocade 127 mm de diámetro que gira a 1250 rev>min(constantes), calculea) la rapidez lineal máxima de cualquier punto de la broca; b)la aceleraciónradial máxima de cualquier punto de la broca930 En t 5 300 s, un punto en el borde de una rueda conradio de0200 m tiene una rapidez tangencial de 500 m>s, mientras larueda sefrena con aceleración tangencial de magnitud constante azotea a 780 m sobre el suelo Las cubetas secolgarán deun gancho en el extremo libre de un cable que se enrolla en eleje;al girar este eje, las cubetas ascienden a) ¿Qué diámetrodebe tenerel eje para levantar las cubetas con rapidez constante de 200cm>smientras gira a 75 rpm? b) Si el eje debe impartir a lascubetas unaaceleración hacia arriba de 0400 m>s2, ¿qué aceleraciónangulardeberá tener el eje?933 Al montar una bicicleta de varias velocidades, el ciclistapuedeseleccionar el radio de la rueda dentada trasera, que está fijaal eje trasero 109 La rueda dentada delantera tiene 120 cm de radio Si larapidezangular de la rueda dentada delantera es de 0600 rev>s, ¿quéradio tienela rueda dentada trasera con la que la rapidez tangencial deun puntoen el borde del neumático trasero es de 500 m>s? Elneumáticotiene 0330 m de radioSección 94 Energía en el movimiento rotacional934 Cuatro esferas pequeñas,que pueden considerarse comopuntos con masa de 0200 kg cadauna, están dispuestas en un cuadradode 0400 m de lado, conectadaspor varillas muy ligeras(figura 929) Calcule el momentode inercia del sistema alrededor deun eje a) que pasa por el centrodel cuadrado, perpendicular a suplano (quepasa por O en la figura); b) que biseca el cuadrado(pasapor la línea AB en la figura); c) que están sujetos en losextremos y elcentro de una varilla ligera de longitud L y masa despreciableCalculeel momento de inercia del sistema alrededor de un ejeperpendicular ala varilla y que pasa por a) el centro y b) un punto a un cuartode sulongitud937 Dos esferas pequeñas están pegadas a los extremos deuna barrauniforme de 200 m de longitud y masa de 400 kg Las esferastienenmasa de 0500 kg cada una y se pueden tratar como masaspuntualesCalcule el momento de inercia de esta combinación en torno acadauno de los ejes siguientes: a) un eje perpendicular a la barraque pasapor su centro; b) un eje perpendicular a la barra que pasa poruna de lasesferas; c) un eje paralelo a la barra que pasa por ambasesferas; d) uneje paralelo a la barra que está a 0500 mde ella938 El bastón de una bastonera esun cilindro 3 Educalineprofesionalgmailcom Educalineprofesionalgmailcom metálico delgado demasaM y longitud L Cada extremo tieneuna tapa de hule de masa m, que puedetratarse como partícula en este problemaCalcule el momento de inerciatotal del bastón alrededor del eje degiro usual (perpendicular al bastón ypor su centro)939 Una rueda de carreta (figura930) tiene un radio de 0300 m y lamasa de su borde es de 140 kg Cadarayo, que está sobre un diámetro y tie-0400 mBO0200 kgAFigura 929 Ejercicio 9340600 mFigura 930 Ejercicio939http://libreria-universitariablogspotcomEjercicios 311ne 0300 m de longitud, tiene una masa de 0280 kg ¿Quémomento deinercia tiene la rueda alrededor de un eje que pasa por sucentro y esperpendicular a su plano? (Use las fórmulas de la tabla 92)940 Un disco uniforme con radio R se corta ala mitad de manera que la mitad que queda tienemasa M (figura 931a) a) ¿Cuál es el momentode inercia de esta mitad alrededor de un eje perpendiculara su plano por el punto A? b) ¿Porqué su respuesta al inciso a) resultó igual quesi se tratara de un disco completo de masa M?c) ¿Cuál sería el momento de inercia de uncuarto del disco de masa M y radio R alrededorde un eje perpendicular a su plano que pasapor el punto B (figura 931b)?941 Un disco compuesto con diámetro exteriorde1400 cm está hecho de un material sólido yuniforme de 500 cm de radio, con densidad deárea de 300 g>cm2 rodeada por un anillo concéntrico,cuyo radio interior es de 500 cm y radioexterior de 700 cm con densidad de área de200 g>cm2 Calcule el momento de inerciade este objeto alrededor de un eje perpendicularal plano del objeto y que pasa por su centro942 Una hélice de avión tiene un diámetro de208 m (de punta a punta) y masa de 117 kg, ygira a 2400 rpm (rev>min) alrededor de un ejeque pasa por su centro Trate la hélice como varilladelgada a) ¿Qué energía cinética rotacionaltiene? b) Suponga que, debido a restricciones depeso, ustedtuviera que reducir la masa de la hélice a 750% de su masaoriginal,pero siguiera requiriendo los mismos tamaño y energíacinética ¿Cuáltendría que ser su rapidez angular en rpm? 110 943 ¿Energía proveniente de la Luna? Suponga que en algúnmomento en el futuro decidimos aprovechar la energíarotacional dela Luna para su uso en la Tierra Además delos datosastronómicosdel ApéndiceF, tal vez usted necesitesaber quela Luna girasobre sueje una vez cada 273 días Suponga que la Luna escompletamentehomogénea a) ¿Cuánta energía total podríamos obtener de larotaciónlunar? b) En la actualidad nuestro planeta utilizaaproximadamente40 3 1020 J de energía anualmente Si en el futuro la Tierrausara cincoveces más energía cada año, ¿cuántos años de rotación lunarnosabastecerían de energía? De acuerdo con su respuesta, ¿setrataría deuna fuentede energía atractiva para invertir según la relacióncostobeneficio?944 en reposo Se tira del extremo libre de la cuerda confuerzaconstante P una distancia de 500 m, punto en el cual lacuerdase está moviendo a 600 m>s Si la cuerda no resbala sobre elcilindro,¿cuánto vale P?947 Se almacenará energía en un volante con forma de discosólidouniforme con radio R 5 120 m y masa de700 kg Para evitarque falleestructuralmente el volante, la aceleración radial máximapermitidade un punto en su borde es de 3500 m>s2 ¿Qué energíacinética máximapuede almacenarse en el volante?948 Suponga que el cilindro sólido del aparato del ejemplo99 (sección94) se sustituye por un cilindro hueco de paredes delgadas,con lamisma masa M y radio R El cilindro está unido al eje medianterayoscuyo momento de inercia es despreciable a) Entérminos de lasvariables indicadas, ¿cuál debe ser el momento de inercia dela polea, deforma quesiempre tenga la mitad de la energía cinética de lacubeta?951 Cambio de escala de I Si multiplicamos todas lasdimensionesde diseño de un objeto por un factor de escala f, su volumen ymasasemultiplicarán por f 3 a) ¿Por qué factor semultiplicará sumomento de inercia? b) Si un modelo a escala tiene unaenergíacinética rotacional de 25 J, ¿cuánto valdrá la del objeto aescala normalhecho con el mismo material y girando con la mismavelocidadangular?952 Una escalera uniforme de 200 m de longitud y masa de900 kgestá apoyada contra un muro vertical formando un ángulo de538 conel piso Un trabajador empuja la escalera contra la paredhasta que quedavertical ¿Cuánto trabajo realizó esa persona contra lagravedad?953 Una cuerda uniforme de 300 kg y 240 m de longitudestá en elsuelo en la cima de un risco vertical En la cima un alpinistadesciendehasta la mitad de la cuerda, para ayudar a su compañero asubir elacantilado ¿Cuál fue el cambio en la energía potencial de lacuerdadurante esta maniobra?Sección 95 Teorema de los ejes paralelos954 Calcule el momento de inercia de un aro (anillo huecode paredesdelgadas) con masa M y radio R, alrededor de un ejeperpendicularal plano del aro y que pasa por un borde955 ¿Alrededor de qué eje tendrá una esfera uniforme demadera, elmismo momento de inercia que tiene una esfera hueca deplomo con eje que está en el plano de la placa,pasa por elcentro de la placa y es perpendicular al eje del inciso a)148ABRMRMa)b)Figura 931Ejercicio 940250-kgpolea150-kgpiedraFigura 932 Ejercicio 949http://libreria-universitariablogspotcom312 CAPÍTULO 9 Rotación de cuerpos rígidos959 Una varilla delgada uniforme de masa M y longitud L sedoblapor su centro demanera que los dos segmentos son ahoraperpendicularesentre sí Encuentre el momento de inercia alrededor de un ejeperpendiculara su plano y que pasa por a) el punto donde se cruzan losdos segmentos y b) el punto medio de la recta que conecta losdos extremos*Sección 96 Cálculos de momento de inercia*960 Utilizando la información de la tabla 92 y el teoremade losejes paralelos, calcule el radio de 250 cm tiene libertad para giraren tornoa un eje perpendicular a él que pasa por su centro Tiene uncordeldelgado pero fuerte enrollado alrededor desu borde, y elcordel está almacenar laenergía calculadaen el inciso b)?969 Un automóvil Chevrolet Corvette clásico modelo 1957,conmasa de 1240 kg, parte del reposo y tiene una aceleracióntangencialconstante de 300 m>s2 en una pista circular de prueba conradio de600 m Trate el auto como partícula a) ¿Qué aceleraciónangulartiene? b) ¿Qué rapidez angular tiene 600 s después dearrancar?c) ¿Qué aceleración radial tiene en este instante? d) Dibujeuna vistasuperior de la pista circular, el auto, el vector de velocidad ylas componentesdel vector de la aceleración a los 600 s e) ¿Qué magnitudestienen la aceleración total y la fuerza neta del auto en esteinstante? f) ¿Qué ángulo forman estos vectores con lavelocidad delauto a los 600 s?970 Unos ingenieros están diseñandoun sistema en el que una masa m,al caer, imparte energía cinética aun tambor uniforme giratorio, alcual está unida con un alambre delgadoy muy ligero que está enrolladoalrededor del borde del tambor(figura 934) No hay fricción considerableen el eje del tambor y todo elsistema parte del reposo Este sistemase probó en la Tierra, pero debeutilizarse en Marte, donde la aceleracióndebida a la gravedad es de371 m>s2 En las pruebas en la Tierra,cuando m es de 150 kg y sele permite caer una distancia de500 m, imparte 2500 J de energíacinética al tambor a) Si el sistema se opera en Marte, ¿quédistanciatendría que caer la masa de 150 kg para impartir la mismacantidadde energía cinética al tambor? b) ¿Con qué rapidez se moverálamasa de 150 kg en Marte justo cuando el tambor gane 2500J deenergía cinética?971 La banda de una aspiradora pasa por un eje con 045 cmde radioy una rueda con 200 cm de radio La disposición de estaspiezases similar a la de la cadena y las ruedas dentadas de la figura914El motor gira el eje a 600 rev>s, y la banda gira la rueda, queseconecta mediante otro eje al rodillo quesaca el polvo de laalfombraque se está limpiando Suponga que la banda no resbala ni enel400 3 1025 kg #m2mTamborFigura 934 Problema970http://libreria-universitariablogspotcomProblemas 313eje ni en la rueda a) ¿Qué rapidez tiene un punto en labanda?b) ¿Qué velocidad angular tiene la rueda en rad>s?972 El motor de una sierra circular gira a 3450 rev>min Unapoleaconectada al eje del motor impulsa una segunda polea con lamitad deldiámetro mediante una correa en “V” Una hoja de 0208 mde diámetroestá montada en el mismo eje giratorio que la segunda poleaa) El gira 150 rad Calcule laaceleracióntangencial de este punto c) Demuestre que el cambio deenergíacinética de la rueda durante cualquier lapso es el producto delmomentode inercia alrededor del eje, la aceleración angular y eldesplazamientoangular d) Durante el desplazamiento angular de 150 raddel inciso b), la energía cinética de la rueda aumenta de 200 Ja450 J ¿Qué momento de inercia tiene la rueda en torno al ejederotación?974 Una esfera consiste en un centro esférico sólido demadera condensidad de 800 kg>m3 y radio de 020 m, cubierto por unacapa delgadade plomo con densidad por área de 20 kg>m2 Calcule elmomentode inercia de esta esfera en torno a un eje que pasa por sucentro975 Estime el momento de inercia de usted en torno a un ejeverticalque pasa por el centro de la parte superior de la cabeza,estandoparado en posición erguida y con los brazos extendidos a losladosHaga aproximaciones razonables, y mida o estime lascantidades necesarias976 Una varilla uniforme de 500 cm de longitud y masa de0320 kgse dobla en su centro para darle forma de V, con un ángulo de7008 ensu vértice Calcule el momento de inercia de este objeto entorno a uneje perpendicular al plano de la V y que pasa por su vértice977 Se ha sugerido que las plantas eléctricas deberíanaprovecharlas horas de bajo consumo (por ejemplo, después demedianoche)para generar energía mecánica y almacenarla hasta que senecesitedurante los periodos de carga máxima, como a medio día Unapropuestaconsiste en almacenar la energía en enormes volantes quegirensobre cojinetes casi sin fricción Considere un volante dehierro(con densidad de 7800 kg>m3) con forma de disco uniformede 100cm de espesor a) ¿Qué diámetro debería tener semejantedisco paraalmacenar 100 megajoules de energía cinética al girar a 900rpmen torno a un eje perpendicular al disco y que pasa por sucentro?b) ¿Qué aceleración centrípeta tendría un punto en su bordeal girarcon esta rapidez?978 Al diseñar el motor para un cohete, usted desea reducirsu pesoremplazando una pieza esférica sólida con una coraza esféricahuecadel mismo tamaño Las piezas giran alrededor de un eje quepasa porsu centro Usted necesita asegurarse de que la pieza nuevasiempretengala misma energía borde del disco Si el disco se suelta delreposocon el objeto en el extremo de un radio horizontal, calcule larapidezangular cuando el objeto esté directamente abajo del eje981 Un anuncio metálico de una concesionaria automotriz esuntriángulo rectángulo delgado y uniforme con base de longitudb yaltura h La masa del anuncio es M a) Calcule su momento deinerciapara la rotación en torno al cateto de longitud h? b) Si M 5540 kg,b 5 160 m y h 5 120 m, ¿qué energía cinética tiene el letrerocuandoestá girando a 200 rev>s en torno a un eje que coincide con elcatetode120 m? 114 982 Medición de I Imagine que trabaja como pasante enuna empresade ingenieros y le piden que mida el momento de inercia deunarueda grande, que gire en torno a un eje que pasa por sucentro Dadoque usted fue buen estudiante de física, sabe lo que debehacer Midela rueda y determina que su diámetro es de 0740 m y quetiene unpeso de 280 N Luego monta la rueda, empleando cojinetessin fricción,en un eje horizontal que pasa por el centro de la ruedaEnrollauna cuerda ligera en el borde de la rueda y cuelga una masade800 kgdel extremo libre, como se muestra en la figura 918 Ahorasuelta lamasa desde el reposo; la masa desciende y la rueda giramientrasla cuerda se desenrolla Usted determina que la masa tieneuna rapidezde 500 m>s después de haber descendido 200 m a) ¿Quémomentode inercia tiene la rueda para un eje perpendicular que pasapor su centro? b) Su jefe le dice que se requiere un I másgrande ylepidediseñar una rueda con la misma masa y radio quetenga¿Qué le contesta usted?983 Un metro de0160 kg pivotea sobre un extremo, demanera quepuede girar sin fricción alrededor de un eje horizontal Elmetro se sostieneen posición horizontal y se suelta Al pasar por la vertical,calculea) el cambio de energía potencial gravitacional que hayaocurrido;b) la rapidez angular del metro; c) la rapidez lineal delextremo opuestoal eje d) Compare la respuesta del inciso c) con la rapidez deunapartícula que ha caído 100 m desde el reposo984 Exactamente una vuelta de una cuerda flexible de masam métodos de energía para calcular larapidez de Ben función de la distancia d que ha descendidoI 5 190 kg # m2BIAFigura 935 Problema 985http://libreria-universitariablogspotcom314 CAPÍTULO 9 Rotación decuerpos rígidos986 La polea de la figura 936 tiene0160 m de radio y su momentode inercia es de Lacuerda no resbala en la polea Usemétodos de energía para calcular larapidez del bloque de 400 kg justoantes de golpear el piso987 Se cuelga un aro delgado deradio R de un clavo El aro se desplazalateralmente (dentro de suplano) un ángulo b con respecto asu posición de equilibrio y se suelta¿Qué rapidez angular tiene al volvera su posición de equilibrio? (Sugerencia:use la ecuación (918))988 Un autobús en Zurich, Suiza, obtenía su potencia motrizde laenergía almacenada en un volante grande, cuya rapidez seaumentabaperiódicamente, cuando el autobús hacía una parada, con unmotoreléctrico que entonces podía conectarse a las líneas eléctricasEl volanteera un cilindro sólido con masa de 1000 kg y 180 m dediámetro;su rapidez angular máxima era de 3000 rev>min a) Con estarapidezangular, ¿qué energía cinética tiene el volante? b) Si lapotencia mediaque requería el autobús era de186 3 104 W, ¿cuánto tiempopodíaoperar entre paradas?989 Dos discos metálicos, con radios R1 5250 cm y R2 5 500 cm, y masas M1 5 080kg y M2 5 160 kg, se sueldan juntos y semontan en un eje sin fricción que pasa porsu centro común (figura 937) a) ¿Qué momentode inercia total tienen los discos?b) Un cordón ligero se enrolla en el discomás chico y se cuelga de él un bloque de150 kg Si el bloque se suelta del reposo auna altura de 200 m sobre el piso, ¿qué rapideztiene justo antes de golpear el piso?c) Repita el inciso b) pero ahora con el cordónenrollado en el disco grande ¿En quécaso el bloque alcanza mayor rapidez?Explique su respuesta990 En el sistema de cilindro y masa delejemplo 99 (sección 94), suponga que lamasa m que cae está hecha de hule ideal, demodo que no pierde energía mecánica al golpear el piso a) Siel cilindrono gira inicialmentey la masa m sesuelta del reposo desdeuna ofuera del cuerpo Sean Ix e Iy los momentos de inerciaalrededor de losejes x y y, y sea I0 el momento de inercia alrededor de un ejeque pasapor O, perpendicular al plano a) Considerando elementos demasa micon coordenadas (xi, yi), demuestre que Ix 1 Iy 5 IO Éste es elteoremade los ejes perpendiculares Observe que el punto O no tieneque ser elcentro de masa b) Para una arandela delgada con masa M yradios interiory exterior R1 y R2, use el teorema de los ejes perpendicularesparacalcular el momento de inercia alrededor de un eje que estáen elplano de la arandela y que pasa por su centro Puede usar lainformaciónde la tabla 92 c) Use el teorema de los ejes perpendicularesparademostrar que, en el caso de una lámina delgada cuadradacon masa My longitud radiopero densidad uniforme? Expliquepor qué este resultado es lógico cualitativamente998 Estrellas de neutrones y restosde supernovas La Nebulosadel Cangrejo es una nube de gas brillantede unos 10 años luz de diámetro,a una distancia aproximada de6500 años luz de la Tierra (figura112 ML2PoleaCilindro CajaFigura 938 Problema 992500 m400 kg200 kgFigura 936 Problema 986R2R1 116 150 kgFigura 937Problema 989Figura 939 Problema 998http://libreria-universitariablogspotcomProblemas de desafío 315939) Es el residuo de una estrella que sufrió una explosionsupernovavista en la Tierra en 1054 DC Esta nebulosa libera energía arazón deaproximadamente 5 3 1031W, unas 105 veces la energíaradiada por elSol El origen de esa energía es la rotación rápida de unaestrella deneutrones en el centro de la nebulosa Este objeto gira unavez cada00331 s, y este periodo aumenta 422 3 10213 s cadasegundo que pasaa) Si la rapidez con que la estrella de neutrones pierde energíaesigual a la rapidez con que la nebulosa libera energía, calcule elmomentode inercia de tal estrella b) Las teorías sobre supernovaspredicenque la estrella de neutrones de la Nebulosa del Cangrejo tieneunamasa aproximadamente 14 veces mayor que la del SolModelando laestrella de neutrones como esfera uniforme sólida, calcule suradio enkilómetros c) ¿Qué rapidez lineal tiene un punto en elecuador de esaestrella? Compare esto con la rapidez de la luz d) Supongaque la estrellade neutrones es uniforme y calcule su densidad,comparándolacon la de una roca ordinaria (3000 kg>m3) y la densidad de unnúcleoatómico (aproximadamente 1017 kg>m3) Justifique laafirmación deque una estrella de neutrones es en esencia un núcleoatómico grandeProblemas de desafío999 El momento de inercia de una esfera con densidaduniforme alrededorde un eje que pasa por su centro es Observacionesde satélite muestran que el momento de inercia de la Tierraesde 03308MR2 Datos geofísicos sugieren que la Tierra tiene 5regionesprincipales: el núcleo interior (r 5 0 a r 5 1220 km) condensidad mediade 12,900 kg>m3, el núcleo exterior (r 5 1220 km a r 5 3480km)con densidad media de 10,900 kg>m3, el manto inferior (r 53480 kma r 5 5700 km) con densidad media de4900 kg>m3, el mantosuperior(r 5 5700 km a r 5 6350 km) con densidad media de 3600kg>m3 y lacorteza exterior y los océanos (r 5 6350 km a r 5 6370 km) condensidadmedia de2400 kg>m3 a) Demuestre que el momento deinerciaalrededor de un diámetro de una coraza esférica uniformecon radio interiorR1, radio exterior R2 y densidad r es(Sugerencia: forme la coraza superponiendo una esfera dedensidad ry tiempo Habrá dossolucionespara u; elija la positiva y explique por qué es la adecuada c)Con suexpresión para u(t), calcule la velocidad angular vz y laaceleraciónangular az en función del tiempo ¿az es constante? d) En unCD, el radiointerior de la pista es de 250 mm, el radio aumenta 155 mmcadarevolución y la duración del CD es de 740 min Calcule r0 y b ydetermineel número total de revoluciones del disco durantesureproduccióne) Con sus resultados de c) y d), grafique vz (en rad>s) contra ty az (en rad>s2) contra t entre t 5 0 y t 5 740 117 P101 Al apretar los pernos de la cabeza de los cilindros de unmotorautomotriz, la cantidad crítica es la torca aplicada a lospernos ¿Porqué la torca es más importante que la fuerza real aplicada almango dela llave?P102 ¿Una sola fuerza aplicada a un cuerpo puede alterartanto sumovimiento de traslación como su movimiento rotacional?Expliquepor quéP103 Suponga que usted puede usar cualquier tipo deruedas en el diseñode un carrito de 4 ruedas, sin motor para carreras cuestaabajo,partiendo del reposo Respetando las reglas de peso total delvehículoy el conductor, ¿conviene usar ruedas grandes y masivas, oruedas pequeñasy ligeras? ¿Conviene usar ruedas sólidas o ruedas con lamayoríade la masa en el borde? Explique por quéP104 Un automóvil una equilibrista camina en la cuerda floja,extiende susbrazos hacia los lados Esto le facilita recuperarse en caso deinclinarsehacia un lado o hacia el otro Explique cómo funciona esto[Sugerencia:piense en la ecuación (107)]P108 Al encenderse un motor eléctrico, tarda más enalcanzar su rapidezfinal si hay una rueda de afilar conectada al eje ¿Por qué?P109 Los buenos cocineros saben si un huevo está crudo ococido haciéndolorodar por una pendiente (y atrapándolo abajo) ¿Cómo esposibleesto? ¿En qué se fijan?P1010 El trabajo efectuado por una fuerza es un producto defuerza ydistancia La torca debida a una fuerza es un producto defuerza y distancia¿Implica esto que la torca y el trabajo sean equivalentes?Expliquepor quéP1011 Imagine que usted pertenece a un despacho deingenieros y uncliente importante le lleva una esfera preciada porque quieresaber sies hueca o sólida Él ha probado dándole golpecitos, pero esono lo hasacado de dudas Diseñe un experimento sencillo y de bajocosto quepueda efectuar rápidamente, sin dañar la valiosa esfera, paraaveriguarsi es hueca o sólidaP1012 Usted hace dos versiones del mismo objeto hecho delmismomaterial que tiene densidad uniforme Para una versión, todaslas dimensionesson exactamente del doble que la otra Si actúa la mismatorca en ambas versiones, dando a la más pequeña unaaceleración angulara, ¿cuál será la aceleración angular de la versión más grandeentérminos de a?P1013 Dos masas idénticas están unidas a poleas sin fricciónmediantecordeles muy delgados, enrollados alrededor del borde de lapolea, yse liberan partiendo del reposo Ambas poleas tienen lamisma masay el mismo diámetro, pero una es sólida y la otra es un aroConformelas masas caen, ¿en qué caso es mayor la tensión en elcordón, o es lamisma en ambos casos? Justifique su respuestaP1014 La fuerza de gravedad actúa sobre el bastón de lafigura 1011Las fuerzas producen torcas que alteran la velocidad angularde uncuerpo Entonces, ¿por qué es constante la velocidad angulardel bastónen la figura?P1015 Cierta esfera sólida uniforme alcanza una alturamáxima h0 cuandorueda cuesta arriba sin deslizarse ¿Qué altura máxima (entérminosde h0) alcanzará si a) se duplica su diámetro, b) se duplica sumasa,c) se duplican tanto su diámetro como su masa, d) se duplicasu rapidezangular en la base de la pendiente?P1016 Una rueda está rodando sin resbalar en una superficiehorizontalEn un marco de referencia inercial en el que la superficie estáenreposo, ¿hay algún punto de la rueda con velocidadpuramente vertical?¿Hay algún punto con componente horizontal de velocidadopuestaa la velocidad del centro de masa? Explique su respuesta¿Cambiansus respuestas si la rueda resbala al rodar? ¿Por qué?P1017 Parte de la energía cinética de un automóvil queavanza está enel movimiento rotacional desus ruedas Al aplicarse los frenosa fondo energía y de la segunda leydeNewtonP1020 Imagine que, en la Casa de la Risa de una feria, ustedestá depie en el centro de una mesa giratoria horizontal grande, quecomienzaa girar libremente sobre cojinetes sin fricción (ningún motor laimpulsa)Si camina hacia el borde de la mesa giratoria, ¿qué pasa con elmomentoangular combinado de usted y la mesa? ¿Qué sucede con larapidez de rotación de la mesa? Explique su respuestaP1021 Calentamiento global Conforme la temperatura ennuestroplaneta sigue aumentando, el hielo de los polos se derretirá yse incorporaráa los océanos ¿Qué efecto tendrá esto en la duración del día?(Sugerencia: consulte un mapa para ver dónde están losocéanos)P1022 Una partícula puntual viaja en línea recta con rapidezconstantey la distancia más cercana que parte del origen de lascoordenadas esuna distancia l Con respecto a este origen, ¿la partícula tienemomentolineal cero? Conforme la partícula se mueve en línea recta,¿cambiasu momento angular con respecto al origen?P1023 En el ejemplo 1011 (sección 106), la rapidez angularv cambia,lo que implica una aceleración angular distinta de cero Sinembargo,no hay torca alrededor del eje de rotación, si las fuerzas que elprofesor aplica a las mancuernas se dirigen radialmente haciaadentroEntonces, por la ecuación (107), az debe ser cero Explique elerror deeste razonamiento que lleva a una aparente contradicciónP1024 En el ejemplo 1011 (sección 106) la energía cinéticarotacionaldel profesor y las mancuernas aumenta Sin embargo, comonohay torcas externas, no se efectúa trabajo para alterar laenergía cinéticarotacional Entonces, por la ecuación (1022), ¡la energíacinéticano debe cambiar! Explique el error de este razonamiento quelleva auna aparente contradicción ¿De dónde sale la energía cinéticaadicional?P1025 Como vimos en la sección 106, el momento angularde unatrapecista se conserva al dar vueltas en el aire ¿Se conservasu momentolineal? ¿Por qué?http://libreria-universitariablogspotcom344 CAPÍTULO 10 Dinámica del movimiento rotacionalF2 5 120 N F1 5 800 NO3008200 m 300 mFigura 1038 Ejercicio 102P1026 Si usted detiene un huevo crudo en rotación duranteel instantemás corto que pueda y lo vuelve a soltar, el huevo comenzaráa girarotra vez Si hace lo mismo con un huevo duro, éste se quedarádetenidoInténtelo y explíqueloP1027 Un helicóptero tiene un rotor principal grande quegira en unplano horizontal y proporciona sustentación También hay unrotor pequeñoen la cola que gira en un plano vertical ¿Para qué sirve?(Sugerencia:si no hubiera rotor de cola, ¿qué pasaría cuando el pilotoalterara la rapidez angular del rotor principal?) Algunoshelicópterosno tienen rotor de cola pero tienen dos rotores principalesgrandes quegiran en un plano horizontal ¿Por qué es importante que losdos rotoresprincipales giren en direcciones opuestas?P1028 En un diseño de giróscopo común, el volante y su ejese encierranen un marco esférico ligero con el volante en el centro Elgiróscopose equilibra entonces sobre un pivote, de modo que el volanteestédirectamente encima del pivote ¿El giróscopo precesa si sesueltamientras el volante está girando? Explique su respuestaP1029 Un giróscopo tarda 38 s en precesar 10 revoluciónalrededorde un eje vertical Dos minutos después, sólo tarda 19 s enprecesar10 revolución Nadie tocó el giróscopo Explique por quéP1030 Un giróscopo precesa como en la figura 1032 ¿Quésucede siagregamos suavemente peso al extremo del eje del volanteopuesto alpivote?P1031 Una bala sale de un rifle girando sobre su ejeExplique cómoesto evita que la bala dé volteretas y mantiene la puntadirigida haciaadelanteP1032 Cierta tornamesa uniforme de diámetro D0 tienemomento angular magnitudes sonF1 5180 N, F2 5 260 N y F3 5 140 N La placa y todas las fuerzasestánen el plano de la páginaF2 F1F34580180 m0180 mOFigura 1039 Ejercicio 103400 146 N 80350 m850 N119 NFigura 1040 Ejercicio 104c)e)d)f)a) b)O12008FO6008200 mFOFO3008FO6008FO9008 FFigura 1037 Ejercicio 101102 Calcule la torca neta alrededor del punto O para las dosfuerzasaplicadas como en la figura 1038 La varilla y las dos fuerzasestán enel plano de la página104 Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0350m, comose indica en la figura 1040 Una fuerza es perpendicular alborde, otraes tangente a éste y la otra forma un ángulo de 400° con elradio¿Cuál es la torca neta sobre la rueda debido a estas tresfuerzas para uneje enel extremo del mango, formandoun ángulo de 37° con éste (figura1041) a) ¿Qué torca ejerce el maquinistaalrededor del centro de latuerca? b) ¿Cuál es la torca máximaque el maquinista podría ejercercon esta fuerza y cómo debería orientarse la fuerza?Sección 102 Torca y aceleración angularde un cuerpo rígido107 El volante de un motor tienemomento de inercia dealrededor desu eje de rotación ¿Qué torca constante serequiere paraque alcance una rapidez angular de 400 rev>min en 800 s,partiendodel reposo?108 Un casco esférico uniforme de 840 kgy 500 cm de diámetro tiene cuatro masaspequeñas de 200 kg pegadas a su superficieexterior, a distancias equidistantes Esta combinacióngira en torno a un eje que pasa porel centro de la esfera y dos de las masas pequeñas(figura 1042) ¿Quétorca por fricción 120 se requiere para reducir la rapidezangular del sistema, de750 rpm a 500 rpmen 300 s?109 Una pieza de maquinaria tiene la formade una esfera sólida uniforme con masa de225 g y diámetro de300 cm, y gira alrededor de un eje sinfricciónque pasa por su centro; sin embargo, en un punto de suecuador rozacontra un metal, lo cual produce una fuerza de fricción de00200 N enese punto a) Calcule su aceleración angular b) ¿Cuántotiempo requerirápara disminuir su rapidez rotacional en 225 rad>s?1010 Un cordón se enrolla en el borde de una rueda sólidauniformede 0250 m de radio y masa de 920 kg Se tira del cordón conuna fuerzahorizontal constante de 400 N hacia la derecha, quitándolotangencialmentede la rueda, la cual está montada con vertical mediante un cabley tiene unidos una masa de 500kg (como se indica en la figura1045) y un pivote en su extremoinferior La cuerda unida a la masade 50 kg pasa por una polea sinmasa y sin fricción, y tira perpendicularmentedel poste De repente,el cable se rompe a) Encuentre laaceleración angular del poste alrededordel pivote cuando el cableserompe b) La aceleración angular calculada en el inciso a)permanece 121 constante conforme el poste cae (antes deque golpee lapolea)? ¿Porqué? c) ¿Cuál es la aceleración dela masa de500 kg despuésde que elCable0500 m500 kgPivoteFigura 1045 Ejercicio 1017Ejercicios 345http://libreria-universitariablogspotcom346 CAPÍTULO 10 Dinámica del movimiento rotacionalcable se rompe? ¿Dicha aceleración permanece constante?Explique surespuesta1018 Una varilla horizontal delgada de longitud l y masa Mpivoteaalrededor de un eje vertical en un extremo Una fuerza demagnitudconstante F se aplica al otro extremo, haciendo que la varillagire en unplano horizontal La fuerza se mantiene perpendicular a lavarilla y aleje de rotación Calcule la magnitud de la aceleración angularde lavarillaSección 103 Rotación de un cuerpo rígido 3500 J Calcule h1026 Bola que rueda cuesta arriba Una bola de bolos(boliche)sube rodando sin resbalar por una rampa que forma unángulo b con lahorizontal (Véase ejemplo 107, sección 103) Trate la bolacomo esferasólida uniforme, sin tomar en cuenta los agujeros a) Dibuje eldiagrama de cuerpo libre de la bola Explique por qué lafricción debetener dirección cuesta arriba b) ¿Qué aceleración tiene elcentro de hélice?1029 Una rueda de afilar de 150 kg con forma de cilindrosólido tiene0100 m de radio a) ¿Qué torca constante la llevará delreposo auna rapidez angular de 1200 rev>min en 25 s? b) ¿Qué ángulohabrágirado en ese tiempo? c) Use la ecuación (1021) para calcularel trabajoefectuado por la torca d) ¿Qué energía cinética tiene larueda al girara 1200 rev>min? Compare esto con el resultado del inciso c)1030 Un motor eléctrico consume 900 kJ de energíaeléctrica en 100min Si un tercio de la energía se pierde en forma de calor yotras formasde energía interna del motor, y el resto se da como potenciaal motor,¿cuánta torca desarrollará este motor si usted lo pone a 2500rpm?1031 Las puntas de carburo de los dientes de corte de unasierra circularestán d) ¿Qué potencia mediadesarrolla el motordurante las primeras 500 revoluciones? e) ¿Qué potenciainstantáneadesarrolla el motor en el instante en que la hélice ha girado500revoluciones?1033 a) Calcule la torca producida por un motor industrialque desarrolla150 kW a una rapidez angular de 4000 rev>min b) Un tamborde0400 m de diámetro y masa despreciable se conecta al eje delmotor, yla potencia del motor se utiliza para levantar un peso quecuelga de unacuerda enrollada en el tambor ¿Qué peso máximo puedelevantar elmotor, con rapidez constante? c) ¿Con qué rapidez subirá elpeso?1950 N # m2100 kg # m200800 mFigura 1046 Ejercicio 1020y problema 1072http://libreria-universitariablogspotcomFigura 1049 Ejercicio 1041Sección 105 Momento angular1034 Una mujer con masa de 50 kg está parada en el bordede un discogrande, con masa de110 kg y radio de 40 m, que gira a 050rev>salrededor de un eje que pasa por su centro Calcule lamagnitud delmomento angular total del sistema mujer-disco (Suponga quela mujerpuede tratarse como punto)1035 Una piedra de 200 kg tieneuna velocidad horizontal conmagnitud de 120 m>s cuando estáen el punto P de la figura 1047 a)¿Qué momento angular (magnitudy dirección) tiene con respecto aO en ese instante? b) Suponiendoque la única fuerza que actúa sobrela piedra es su peso, calcule larapidez del cambio (magnitud ydirección) de su momento angularen ese instante1036 a) Calcule la