102212873 Vigas Metodo Doble Integracion



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1 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II “AÑODE LA INTEGRACIÓN NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD” “UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA” “FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL” “METODO DE AREAS DE MOMENTOS” CATEDRATICO : Mg Alejandro Crispín Gómez INTEGARNTES : AYBAR ANTEZANA JOCELYN RUTH HUARCAYA HUAMANI MARILEY YANET LICAS REDOLFO LUIS URBINA MONTEROLA TU PAPI II CHIVAN CICLO : VI – A ICA - PERÚ 2012 Mg Alejandro Crispín Gómez 2 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Dedicamos este trabajo a la JUventud estudiosa Trece años contigo!!! Puro sentimiento!!! Mg Alejandro Crispín Gómez 3 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II DEFORMACION DE VIGAS- METODO DE AREA DE MOMENTOS Un sistema dado de cargas que actúan sobre una viga; para lo cual se conocen las dimensiones de la viga y el módulo de la elasticidad; con lo cual se quiere determinar la flecha en un punto cualquiera de la viga deformada desde su posición original PRIMER TEOREMA DE AREA DE MOMENTOS Donde: ρ = radio de curvatura En la figura que se muestra, AB representa una parte de la curva elástica de la viga y el diagrama rayado debajo de AB es la parte correspondiente al diagrama del momento flector “El ángulo de las tangentes en A y B es igual al área del diagrama de momento flector entre esos dos puntos, divididos por el producto E*I” SEGUNDO TEOREMADEL AREA DE MOMENTOS Consideramos la distancia vertical entre el punto B de la elasticidad y la tangente de esta curva trazada en A En la figura se representa esta distancia por la flecha o por Δ “La distancia vertical entre el punto B de la curva elástica y la tangente trazada a la curva por A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momento flector entre A y B divididos por EI” En la figura la distancia vertical del punto B es BB’ La contribución a esta longitud BB’ de la flexión del elemento ds es el valor elemental xdθ Mg Alejandro Crispín Gómez 4 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Se sabe que: Problema: Determinar la flecha en el punto A de la viga mostrada Solución: 1- Cálculo de las reacciones en el punto C tomando momento con respecto a B Σ MB = 0 2- el cálculo de CD por el segundo teorema de área de momento Mg Alejandro Crispín Gómez 5 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Calculo de еf por el mismo teorema anterior Haciendo la relación de triángulos: Problema: Determinar la desviación del punto C con respecto al a tangente trazada en el punto B, de la viva mostrada en la fig dar los resultados en función de E*I Solución: a) Aplicando el segundo teorema de área de momentos t c/b = Momento del área bajo el diagrama M/EI entre C y B con respecto a C Mg Alejandro Crispín Gómez 6 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II El signo menos (-) significa que le punto C esta en la dirección negativa (es decir en dirección de la tangente trazada en B) Problema: calcular la deflexión total en el extremo libre del a viga mostrada en la figura Dar la respuesta en función de E*I PROBLEMA: Calcular la pendiente en radianes y la deflexión en mm; del extremo libre de la viga mostrada en la fig, sabiendo que: GpaE 200= e 4610359 mxI −= Mg Alejandro Crispín Gómez 7 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Mg Alejandro Crispín Gómez 8 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Solución En este caso como en muchos casos de cargo combinado, es más conveniente calcular las deflexiones y pendientes, para cada carga en forma independiente, y después combinadas (superponer) los resultados • En este problema importa la posición final del extremo libre; puede esta encima o debajo del punto C por ahora se supone que se encuentra debajo de la posición inicial 42165326 3 2672 2 124 4 3424 3 1 x EI x EI xx EI xxx EIC +−=     +   +   −=∆ ( )+=+−=∆ EIEIEIC 704864160 en este caso indica que el punto C’ queda arriba de la temperatura Reemplazar: valores [ ]mKN , mm xxx m C 8191035910200 009810704 66 ≅ = =∆ − La pendiente se obtiene aplicando el 1er teorema de área de movimientos 66 1035910200 18418421632 − =+=+−= xxxEIEIEIC φ PROBLEMA: Hallar la pendiente y la deflexión en el extremo libre de la viga mostrada en al figura cteEI = Solución Mg Alejandro Crispín Gómez 9 θ UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Solución 0=AIM 08126 2 64 2 =−+− xxRx B 16896726 =+=BR knRB 28= Mg Alejandro Crispín Gómez θA 72/EI 10 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II    ++   −+   +   +     −= 6 4 32672 3 16 3 226168 2 18 3 2896 2 1 / xxEI xxx EI xx EI t AC 561446504 3 16384 / xEI x EI x EI t AC −+−= EIEIEI t AC 93630242048 / −+−= EI t AC 40 / += (I) ( )    −   +   −−= 6 4 3672 3 16 3 26168 2 16 3 2672 2 13624/ xxEI xxx EI xxx EI xx EI t AB EI x EI x EI x EI x EI t AB 7254144450442163144/ =−+−−= (II) Efectuando la relación de EF∆ 6 8 / = AB C t δ EIEI xt ABC 9672 6 8 6 8 / ===δ (III) De la Fig: EIEIEI tA ACCC 564096 / =−=−= δ (Hacia abajo) EIEIEIEICA 24144504384 −=−+−== φφ (En sentido horario) (IV) EIEI tTag ABAA 1272 6 / ==== φφ (V) En (IV) EIEI C 2412 −=− φ Resolviendo: EIC 36 =φ Mg Alejandro Crispín Gómez 11 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II PROBLEMA: Una viga libremente apoyada en sus extremos, esta sometido a una carga concentrada de 450 kgr 24 /107 cmkgrxE = , 4411987 cmI = Se desea determinar la flecha máxima por el método de viga conjugada Diagrama de momento flector reducido LA VIGA CONJUGADA En La Viga Conjugada Es La Reacción De Las Cargas Externas (Fig Anterior) Mg Alejandro Crispín Gómez R1=1125Kgr R2=33750 30375/EI 1125X/EI 30315/EI 12 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II Solución La viga real está en equilibrio, por tanto se pueden determinar las reacciones Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático 0=IMA (I) 0)603()702( 2 =−= RP kgrXR 5337 603 702450 2 == 0=∑ VF (II) PRR =+ 21 53374501 −=R kgrR 501121 = Determinar el diagrama de momento flector El momento flector máximo se obtiene aplicando la formula: 75303 603 9072450 == XXM MAX (III) Determinar la variación de la carga vertical, de la zona I: Empleando la relación de EF∆ EI X Y EI X Y X EI Y 5112 72 75303 70275303 === (IV) Para determinar el ( ) EI xxx EF xxA 7530390 2 1702 3 19075303702 2 1603 −   +−=φ φ=   900 2 3 x EIEIEIA 12482001282112738603 =+=φ EIA 812227 =φ (V) 0=∑ AM para obtener ?=Bφ Mg Alejandro Crispín Gómez 13 UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II    ++   90 3 170275303900 2 1702 3 275330702 2 1 x EI xxxx EI xx ( ) 0603 =Bφ EIEIEIB 1741148062410112738603 =+=φ EIB 937318 =φ (VI) La flecha máxima tendrá lugar en la sección usando al pendiente es cero (sección D) situada a una distancia x del apoyo izquierdo, ósea en el diagrama de fuerza constante 0=XV en la viga conjugada 05112 2 1812227 =−= EI xx EI VX Simplificando 8122272556: 2 =xEI Reemplazando: mx 0122= (VII) La deformaron vertical en el punto D, se determina una al momento flector de la viga conjugada ( )    −= 0122 3 10122501120122 2 10122 x EI xXY AMAX φ ( ) EIEI YMAX 7161520122812227 −= m xxx YMAX 00364010411987107 716152358458 88 = − = − 28 /107 mkgrxE = mmYMAX 643= 810411987 −= xI Mg Alejandro Crispín Gómez